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分数の問題

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娘ちんから「4/5と5/6の間にある、分母が一番小さい分数は?」という問題を出された。

そんなん簡単やん、通分すれば・・・と、答えかけたのだが、違うと一蹴された。
解き方は簡単で、それぞれを足し算すればいいという。つまり、(4+5)/(5+6)=9/11。

ところがナゼそうなるのか、娘ちんはもちろん僕も分からない。しかもこの解法はパターンがハマッた時にしか通用しない。

で、色々と調べて、分数全般に通用する解法を考えてみた。

(a)分子を揃えて、分母間に2以上の差をつける

例えば1/3と1/4の場合、すでに分子は同じ。ところが分母間は1しか差がない。
なので、2/6と2/8で考える。分子を揃えて、分母間に2以上の差がついた。
当然、その間の分数は2/7。

ところがこの解法は娘ちんの問題には通用しない。

やってみると、4/5⇒20/25と5/6⇒20/24となり、分母間に1しか差がないので、さらにそれぞれを2倍すると、
20/25⇒40/50と20/24⇒40/48となる。
その間の分数は40/49。ほらね。9/11とは異なる。

で、次。

(b)1から引いた分数で(a)を適用し、最後に1から引く。

1-4/5=1/5と、1-5/6=1/6で考える。
分子は1で揃っているが、分母間の差が1なのでそれぞれ2倍すると、2/10と2/12。
間の分数は2/11。
最後にこれを1から引くと、1-2/11=9/11。

で、(c)として、(a)と(b)の解のうち、分母が小さい方が正解。

これでどうじゃろか。

上記の2例では、(a)か(b)をやるととにかく分子が1になった場合だが、その他の場合は?

てことで、5/6と5/7の場合。

まず、(a)で考えると、分子はすでに揃っているが、分母の差が1しかないのでそれぞれ2倍すると、10/12と10/14となる。
間の分数は10/13。

(b)だと、1-5/6=1/6と、1-5/7=2/7で考えることになる。
分子を揃えるために1/6の分母分子を2倍すると、2/12。
2/12と2/7の間の分母が一番小さい分数は、当然2/8。つまり、1/4。

(c)として、(a)と(b)のうち分母が小さい方を比較すると、1/4が正解。

まどろっこしいかなあ?

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