- 2015-04-23 (木) 22:17
- Category:家のこと
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娘ちんから「4/5と5/6の間にある、分母が一番小さい分数は？」という問題を出された。
そんなん簡単やん、通分すれば・・・と、答えかけたのだが、違うと一蹴された。
解き方は簡単で、それぞれを足し算すればいいという。つまり、(4+5)/(5+6)＝9/11。
ところがナゼそうなるのか、娘ちんはもちろん僕も分からない。しかもこの解法はパターンがハマッた時にしか通用しない。
で、色々と調べて、分数全般に通用する解法を考えてみた。
(a)分子を揃えて、分母間に2以上の差をつける
例えば1/3と1/4の場合、すでに分子は同じ。ところが分母間は1しか差がない。
なので、2/6と2/8で考える。分子を揃えて、分母間に2以上の差がついた。
当然、その間の分数は2/7。
ところがこの解法は娘ちんの問題には通用しない。
やってみると、4/5⇒20/25と5/6⇒20/24となり、分母間に1しか差がないので、さらにそれぞれを2倍すると、
20/25⇒40/50と20/24⇒40/48となる。
その間の分数は40/49。ほらね。9/11とは異なる。
で、次。
(b)1から引いた分数で(a)を適用し、最後に1から引く。
1-4/5=1/5と、1-5/6=1/6で考える。
分子は1で揃っているが、分母間の差が1なのでそれぞれ2倍すると、2/10と2/12。
間の分数は2/11。
最後にこれを1から引くと、1-2/11=9/11。
で、(c)として、(a)と(b)の解のうち、分母が小さい方が正解。
これでどうじゃろか。
上記の2例では、(a)か(b)をやるととにかく分子が1になった場合だが、その他の場合は？
てことで、5/6と5/7の場合。
まず、(a)で考えると、分子はすでに揃っているが、分母の差が1しかないのでそれぞれ2倍すると、10/12と10/14となる。
間の分数は10/13。
(b)だと、1-5/6=1/6と、1-5/7=2/7で考えることになる。
分子を揃えるために1/6の分母分子を2倍すると、2/12。
2/12と2/7の間の分母が一番小さい分数は、当然2/8。つまり、1/4。
(c)として、(a)と(b)のうち分母が小さい方を比較すると、1/4が正解。
まどろっこしいかなあ？
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さすがっ！！
パターンに当てはまらない問題が出た時にどうやって解くかを考えていたのですが(3番目の5/6と5/7とか、あるいは例えば2/9と8/15とか)、小学生に理解させるのは難しいですねぇ。
2つの分数をx-1/x、 x/x+1とする。（xは正の整数）
1- x-1/x=1/x 1- x/x+1=1/x+1
分母分子を二倍して
2/2x, 2/2x+2
題意を満たす分数は2/2x+1
1-2/2x+1=2x-1/2x+1= (x-1)+x/x+(x+1)
証明終わり(´・ω・`)。
うめさんの2番めの方法で証明に
なっていると思います。実際は
パターンにはまったものしか出ないの
かもしれませんが。